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    一、基本概念

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0

余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)

余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数

二、常用应用

(一)利用基本公式：主要考察余数基本关系式和恒等式

例1.两整数相除得3余10，被除数，除数，商与余数之和是143，这两个数相差 ( )。

A.80 B.70 C.66 D.55

【中公解析】答案为B。设除数为x，则被除数为3x+10，被除数，除数，商与余数之和3x+10+x+3+10=143，可求x=30。即除数为30，被除数为100，两数相差70。

(二)利用同余特性：余数的和决定和的余数

例2.商店里有6箱货物，分别重15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店剩下的一箱货物重( )千克？

A. 16　　　 　B. 18 C. 19 D. 20

【中公解析】答案为D。一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。说明这两位顾客总共取的重量为3的倍数，将6箱货物相加：15+16+18+19+20+31=119;119÷3=39…2。而在15、16、18、19、20、31六个数中只有20除以3余2，即货物20千克是被剩下来的。

(三)利用同余定理：

同余问题核心口诀“最小公倍数作周期，余同加余，和同加和，差同减差”

余同加余：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是 60n+1

和同加和：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是 60n+7

差同减差：“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是 60n-1

在这里，n的取值范围为整数，可以为正数也可以取负数。

例3.学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成5排则少2人；排成7排则少4人；则学生人数是多少？( )

A.102 B.98 C.104 D.108

【中公解析】答案为D。人数除以5余3，除以7余3，利用同余特性，这个数为35n+3，n=3时人数在90-110之间，即108。